5. Для функции f(x) = 6x^2 - 4x найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку P(1; 3).

Нахождение первообразной \( F(x) \)

1. Находим общую первообразную функции \( f(x) = 6x^2 - 4x \):

\( F(x) = \int (6x^2 - 4x) dx \)

\( F(x) = 6 \int x^2 dx - 4 \int x dx \)

\( F(x) = 6 \frac{x^{2+1}}{2+1} - 4 \frac{x^{1+1}}{1+1} + C \)

\( F(x) = 6 \frac{x^3}{3} - 4 \frac{x^2}{2} + C \)

\( F(x) = 2x^3 - 2x^2 + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.

2. Находим значение \( C \), используя условие, что график проходит через точку \( P(1; 3) \).

Подставляем координаты точки \( x = 1 \) и \( F(x) = 3 \) в уравнение первообразной:

\( 3 = 2(1)^3 - 2(1)^2 + C \)

\( 3 = 2(1) - 2(1) + C \)

\( 3 = 2 - 2 + C \)

\( 3 = 0 + C \)

\( C = 3 \)

3. Записываем уравнение частной первообразной:

Подставляем найденное значение \( C \) в формулу общей первообразной:

\( F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3 \)

Ответ: \( F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3 \).