6. Один из катетов прямоугольного треугольника на 5 см больше другого, площадь треугольника 50 см². Найдите меньший катет треугольника. Обозначьте буквой x (см) больший катет треугольника и составьте уравнение по условию задачи. Варианты: 1) \(x(x-5)=50\); 2) \(x(x+5)=50\); 3) \(x(x-5)=100\); 4) \(x(x+5)=100\).

Пусть меньший катет равен \(x\) см. Тогда больший катет равен \(x+5\) см.

Площадь прямоугольного треугольника:

\[S=\frac12 x(x+5).\]

По условию:

\[\frac12 x(x+5)=50,\]

откуда

\[x(x+5)=100.\]

Решим уравнение:

\[x^2+5x-100=0,\]

\[D=25+400=425=25\cdot17.\]

\[x=\frac{-5\pm5\sqrt{17}}2.\]

Длина катета положительна, поэтому

\[x=\frac{5(\sqrt{17}-1)}2\text{ см}.\]

Ответ: уравнение — вариант 4; меньший катет \(\frac{5(\sqrt{17}-1)}2\) см.