6. Найдите значение выражения \(\frac{b-5}{b-2\sqrt{5b}+5}\) при b = 2

Решение:

Подставим \( b = 2 \) в данное выражение:

\( \frac{2-5}{2-2\sqrt{5\cdot2}+5} = \frac{-3}{2-2\sqrt{10}+5} = \frac{-3}{7-2\sqrt{10}} \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на \( 7+2\sqrt{10} \):

\( \frac{-3}{7-2\sqrt{10}} \cdot \frac{7+2\sqrt{10}}{7+2\sqrt{10}} = \frac{-3(7+2\sqrt{10})}{(7)^2 - (2\sqrt{10})^2} = \frac{-21-6\sqrt{10}}{49 - 4\cdot10} = \frac{-21-6\sqrt{10}}{49 - 40} = \frac{-21-6\sqrt{10}}{9} \)

Сократим дробь на 3:

\( \frac{-7-2\sqrt{10}}{3} \)

Ответ: \(\frac{-7-2\sqrt{10}}{3}\)