5. В окружность с радиусом 25 см вписан треугольник, одна сторона которого является диаметром, а другая — 14 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

1. Если одна сторона вписанного треугольника является диаметром окружности, то этот треугольник прямоугольный (угол, опирающийся на диаметр, прямой).
2. Диаметр окружности равен \( 2 \cdot 25 \text{ см} = 50 \text{ см} \). Это одна из сторон (гипотенуза) прямоугольного треугольника.
3. Другая сторона треугольника дана — \( 14 \text{ см} \).
4. Найдем третью сторону (второй катет) по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \), где \( c \) — гипотенуза.
5. \( 14^2 + b^2 = 50^2 \)
6. \( 196 + b^2 = 2500 \)
7. \( b^2 = 2500 - 196 \)
8. \( b^2 = 2304 \)
9. \( b = \sqrt{2304} = 48 \text{ см} \).
10. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \( S = \frac{1}{2} a \cdot b \).
11. \( S = \frac{1}{2} \cdot 14 \text{ см} \cdot 48 \text{ см} \)
12. \( S = 7 \text{ см} \cdot 48 \text{ см} = 336 \text{ см}^2 \).

Ответ: 336 см²