№6. Найдите значение выражения: 25^{log₅3 + ½}

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней и логарифмов:

1. Разделим степень на два множителя: \( 25^{\log_5 3 + \frac{1}{2}} = 25^{\log_5 3} \cdot 25^{\frac{1}{2}} \).
2. Преобразуем основание первой степени: \( 25 = 5^2 \). Тогда \( 25^{\log_5 3} = (5^2)^{\log_5 3} = 5^{2 \log_5 3} = 5^{\log_5 3^2} = 5^{\log_5 9} \).
3. По определению логарифма, \( a^{\log_a b} = b \). Следовательно, \( 5^{\log_5 9} = 9 \).
4. Вычислим второе слагаемое: \( 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5 \).
5. Теперь перемножим полученные значения: \( 9 \cdot 5 = 45 \).

Ответ: 45.