№10. Решите уравнение: 2sin²x + 5sin(\(\frac{3\pi}{2}\) - x) - 2 = 0

Решение:

Воспользуемся формулой приведения \( \sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x \) и основным тригонометрическим тождеством \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).

1. Заменим \( \sin(\frac{3\pi}{2} - x) \) на \( -\cos x \): \( 2\sin^2 x + 5(-\cos x) - 2 = 0 \).
2. Преобразуем: \( 2\sin^2 x - 5\cos x - 2 = 0 \).
3. Заменим \( \sin^2 x \) через \( \cos^2 x \) по основному тригонометрическому тождеству \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \): \( 2(1 - \cos^2 x) - 5\cos x - 2 = 0 \).
4. Раскроем скобки: \( 2 - 2\cos^2 x - 5\cos x - 2 = 0 \).
5. Упростим: \( -2\cos^2 x - 5\cos x = 0 \).
6. Умножим на -1: \( 2\cos^2 x + 5\cos x = 0 \).
7. Вынесем \( \cos x \) за скобки: \( \cos x (2\cos x + 5) = 0 \).
8. Получаем два случая:
• Случай 1: \( \cos x = 0 \). Отсюда \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.
• Случай 2: \( 2\cos x + 5 = 0 \). \( 2\cos x = -5 \). \( \cos x = -\frac{5}{2} \). Так как \( -1 \leq \cos x \leq 1 \), это уравнение не имеет решений.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).