6. Найдите все корни уравнения sin² x – 5 sin x + 4 = 0.

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( \sin x \). Сделаем замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\( t^2 - 5t + 4 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

\( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Теперь вернемся к замене \( t = \sin x \). Получаем два уравнения:

1. \( \sin x = 4 \)
2. \( \sin x = 1 \)

Рассмотрим первое уравнение: \( \sin x = 4 \). Так как область значений синуса \( [-1, 1] \), то есть \( -1 \leq \sin x \leq 1 \), уравнение \( \sin x = 4 \) не имеет решений.

Рассмотрим второе уравнение: \( \sin x = 1 \). Это частный случай, который решается по формуле:

\( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \) (целые числа).

Ответ: x = \(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \( n \(\in\) \(\mathbb{Z}\)