1. Определите, на каком из рисунков изображен график функции y = log_{a} x при 0 < a < 1.

Решение:

Для логарифмической функции \( y = \log_a x \) при \( 0 < a < 1 \) характерно следующее:

• Область определения: \( x > 0 \).
• Область значений: \( y \in \mathbb{R} \).
• График проходит через точку \( (1, 0) \), так как \( \log_a 1 = 0 \) для любого \( a > 0, a \neq 1 \).
• При \( 0 < a < 1 \) функция является убывающей. Это означает, что если \( x_1 < x_2 \), то \( \log_a x_1 > \log_a x_2 \).
• Когда \( x \to +0 \), \( y \to +\infty \).
• Когда \( x \to +\infty \), \( y \to -\infty \).

Рассмотрим предложенные графики:

• График а) возрастает и проходит через \( (1, 0) \). Это график логарифма с основанием \( a > 1 \).
• График б) проходит через \( (0, 1) \) и возрастает. Это график показательной функции \( y = a^x \) при \( a > 1 \).
• График в) убывает и проходит через \( (1, 0) \). Когда \( x \to +0 \), \( y \to +\infty \), а когда \( x \to +\infty \), \( y \to -\infty \). Это соответствует логарифмической функции с основанием \( 0 < a < 1 \).
• График г) проходит через \( (0, 1) \) и возрастает. Это график показательной функции \( y = a^x \) при \( a > 1 \).

Таким образом, график функции \( y = \log_a x \) при \( 0 < a < 1 \) изображен на рисунке в.

Ответ: в)