№6. Найдите корень уравнения: 1) log₁(7-3x) = -2 2) log₄(x+3) = log₄(4x-15) 3) log₅(7-x) = log₅(3-x) + 1

Решение №6:

1. \( \log_1 (7-3x) = -2 \)
   Логарифм по основанию 1 не существует. Скорее всего, в условии опечатка, и основание должно быть другим (например, 10 или 7). Если предположить, что основание равно 7:
   \( \log_7 (7-3x) = -2 \)
   \( 7-3x = 7^{-2} \)
   \( 7-3x = \frac{1}{49} \)
   \( -3x = \frac{1}{49} - 7 \)
   \( -3x = \frac{1 - 343}{49} \)
   \( -3x = \frac{-342}{49} \)
   \( x = \frac{-342}{49 \cdot (-3)} = \frac{114}{49} \)
   Если предположить, что основание равно 10:
   \( \log_{10} (7-3x) = -2 \)
   \( 7-3x = 10^{-2} \)
   \( 7-3x = 0,01 \)
   \( -3x = 0,01 - 7 \)
   \( -3x = -6,99 \)
   \( x = \frac{-6,99}{-3} = 2,33 \)
2. \( \log_4 (x+3) = \log_4 (4x-15) \)
   Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:
   \( x+3 = 4x-15 \)
   \( 3+15 = 4x-x \)
   \( 18 = 3x \)
   \( x = 6 \)
   Проверим область допустимых значений (аргументы логарифмов должны быть положительными):
   \( x+3 > 0 \Rightarrow 6+3 = 9 > 0 \) — верно.
   \( 4x-15 > 0 \Rightarrow 4(6)-15 = 24-15 = 9 > 0 \) — верно.
3. \( \log_5 (7-x) = \log_5 (3-x) + 1 \)
   Перенесём логарифм из правой части в левую:
   \( \log_5 (7-x) - \log_5 (3-x) = 1 \)
   Используем свойство разности логарифмов: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \)
   \( \log_5 \frac{7-x}{3-x} = 1 \)
   По определению логарифма:
   \( \frac{7-x}{3-x} = 5^1 \)
   \( \frac{7-x}{3-x} = 5 \)
   \( 7-x = 5(3-x) \)
   \( 7-x = 15-5x \)
   \( 5x-x = 15-7 \)
   \( 4x = 8 \)
   \( x = 2 \)
   Проверим область допустимых значений:
   \( 7-x > 0 \Rightarrow 7-2 = 5 > 0 \) — верно.
   \( 3-x > 0 \Rightarrow 3-2 = 1 > 0 \) — верно.

Ответ: 1) 114/49 (при основании 7) или 2,33 (при основании 10); 2) 6; 3) 2.