№5. Найдите значение выражения: 1) (log₂4) · (log₃81) 2) log₅25 / log₃7 + log₇0,2 3) 16^(log₇4)

Решение №5:

1. \( (\log_2 4) \cdot (\log_3 81) \)
   \( \log_2 4 = 2 \), так как \( 2^2 = 4 \).
   \( \log_3 81 = 4 \), так как \( 3^4 = 81 \).
   \( 2 \cdot 4 = 8 \)
2. \( \frac{\log_5 25}{\log_3 7} + \log_7 0,2 \)
   \( \log_5 25 = 2 \), так как \( 5^2 = 25 \).
   \( \log_7 0,2 = \log_7 \frac{1}{5} = \log_7 5^{-1} = -\log_7 5 \).
   Выражение принимает вид: \( \frac{2}{\log_3 7} - \log_7 5 \).
   Используя свойство \( \frac{1}{\log_a b} = \log_b a \), получаем:
   \( 2 \log_7 3 - \log_7 5 = \log_7 3^2 - \log_7 5 = \log_7 9 - \log_7 5 = \log_7 \frac{9}{5} \)
3. \( 16^{\log_7 4} \)
   Используем свойство \( a^{\log_b c} = c^{\log_b a} \):
   \( 16^{\log_7 4} = 4^{\log_7 16} \)
   Так как \( 16 = 4^2 \), получаем:
   \( 4^{\log_7 4^2} = 4^{2 \log_7 4} = (4^{\log_7 4})^2 \)
   Это не упрощает вычисление без калькулятора. Воспользуемся другим свойством: \( a^{\log_a b} = b \).
   Представим \( 16 \) как \( 4^2 \):
   \( (4^2)^{\log_7 4} = 4^{2 \log_7 4} \)
   Пусть \( y = 16^{\log_7 4} \). Тогда \( \log_7 y = \log_7 (16^{\log_7 4}) = \log_7 4 \cdot \log_7 16 \).
   Воспользуемся свойством \( a^{\log_c b} = b^{\log_c a} \).
   \( 16^{\log_7 4} = 4^{\log_7 16} = 4^{\log_7 4^2} = 4^{2 \log_7 4} \).
   Еще одно свойство: \( a^{\log_b c} = c^{\log_b a} \).
   \( 16^{\log_7 4} = 4^{\log_7 16} \).
   Упростим \( \log_7 16 = \log_7 4^2 = 2 \log_7 4 \).
   \( 4^{2 \log_7 4} \).
   Если основания одинаковы, но показатель степени зависит от логарифма, иногда полезно использовать \( a^{\log_b c} = c^{\log_b a} \).
   \( 16^{\log_7 4} = 4^{\log_7 16} \).
   Заметим, что \( 16 = 4^2 \).
   \( (4^2)^{\log_7 4} = 4^{2 \cdot \log_7 4} \).
   Если бы основание логарифма было 4, то ответ был бы 16. Но основание 7.
   Возможно, здесь подразумевается, что \( 16 = 4^2 \), и ответ должен быть \( 4^{2 \log_7 4} \).
   Без калькулятора это значение точно не вычислить. Однако, если бы это было \( 4^{\log_4 16} \), то ответ был бы 16. Или \( 7^{\log_7 16} \), то ответ был бы 16.
   Рассмотрим \( x^{\log_a b} = b^{\log_a x} \).
   \( 16^{\log_7 4} = 4^{\log_7 16} \).
   \( 4^{\log_7 16} = 4^{\log_7 4^2} = 4^{2 \log_7 4} \).
   Окончательный ответ без калькулятора будет в таком виде.

Ответ: 1) 8; 2) log₇(9/5); 3) 4^{2 log₇4}.