6. Моторная лодка прошла расстояние 45 км против течения реки и такое же расстояние по течению реки, затратив на весь путь 14 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч.

Привет! Эта задачка про лодку и течение. Давай разберемся!

Что нам известно:

• Расстояние туда и обратно одинаковое: S = 45 км.
• Общее время в пути: T_общ = 14 ч.
• Скорость течения реки: V_теч = 2 км/ч.

Что нужно найти:

• Собственную скорость лодки: V_собст.

Шаг 1: Определим скорости по течению и против течения.

Пусть V_собст — собственная скорость лодки.

• Скорость лодки по течению: V_по_теч = V_собст + V_теч = V_собст + 2 км/ч.
• Скорость лодки против течения: V_против_теч = V_собст - V_теч = V_собст - 2 км/ч.

Шаг 2: Выразим время в пути для каждого отрезка.

Мы знаем, что Время = Расстояние / Скорость.

• Время в пути по течению: T_по_теч = S / V_по_теч = 45 / (V_собст + 2) ч.
• Время в пути против течения: T_против_теч = S / V_против_теч = 45 / (V_собст - 2) ч.

Шаг 3: Составим уравнение, используя общее время.

Общее время — это сумма времени по течению и против течения:

T_общ = T_по_теч + T_против_теч

\[ 14 = \frac{45}{V_{собст} + 2} + \frac{45}{V_{собст} - 2} \]

Шаг 4: Решим уравнение.

Приведем дроби к общему знаменателю (V_собст + 2)(V_собст - 2):

\[ 14 = \frac{45(V_{собст} - 2) + 45(V_{собст} + 2)}{(V_{собст} + 2)(V_{собст} - 2)} \]

Упростим числитель:

\[ 45V_{собст} - 90 + 45V_{собст} + 90 = 90V_{собст} \]

Знаменатель — это разность квадратов: (V_собст + 2)(V_собст - 2) = V_собст² - 4.

Теперь уравнение выглядит так:

\[ 14 = \frac{90V_{собст}}{V_{собст}^2 - 4} \]

Умножим обе части на (V_собст² - 4):

\[ 14(V_{собст}^2 - 4) = 90V_{собст} \]

14V_{собст}² - 56 = 90V_{собст}

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 14V_{собст}^2 - 90V_{собст} - 56 = 0 \]

Разделим все на 2, чтобы упростить:

\[ 7V_{собст}^2 - 45V_{собст} - 28 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно V_собст. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-45)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) \]

D = 2025 + 784 = 2809

√D = √2809 = 53

Теперь найдем корни:

\[ V_{собст_1} = \frac{-(-45) + 53}{2 \cdot 7} = \frac{45 + 53}{14} = \frac{98}{14} = 7 \]
\[ V_{собст_2} = \frac{-(-45) - 53}{2 \cdot 7} = \frac{45 - 53}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7} \]

Так как скорость не может быть отрицательной, мы берем положительный корень.

Проверка:

• Скорость по течению: 7 + 2 = 9 км/ч. Время: 45 / 9 = 5 ч.
• Скорость против течения: 7 - 2 = 5 км/ч. Время: 45 / 5 = 9 ч.
• Общее время: 5 ч + 9 ч = 14 ч. Все верно!

Ответ: Собственная скорость лодки равна 7 км/ч.