6. log_6 x + log_6 (x-5) < 1

Решение:

Данное неравенство содержит логарифмы с основанием \( 6 \), которое больше 1. При решении таких неравенств знак сохраняется.

1. Определим ОДЗ:

\( x > 0 \)

\( x - 5 > 0 \implies x > 5 \)

Общая ОДЗ: \( x > 5 \).

2. Сложим логарифмы по свойству \( \log_b M + \log_b N = \log_b (MN) \):

\( \log_6 (x(x-5)) < 1 \)

3. Представим \( 1 \) как логарифм с основанием \( 6 \): \( 1 = \log_6 6 \).

\( \log_6 (x^2 - 5x) < \log_6 6 \)

4. Так как основание \( 6 > 1 \), переходим к неравенству для аргументов, сохраняя знак:

\( x^2 - 5x < 6 \)
\( x^2 - 5x - 6 < 0 \)

5. Решим квадратное неравенство. Найдём корни уравнения \( x^2 - 5x - 6 = 0 \) по теореме Виета: \( x_1 = 6, x_2 = -1 \).

Ветви параболы \( y = x^2 - 5x - 6 \) направлены вверх. Неравенство \( x^2 - 5x - 6 < 0 \) выполняется при \( -1 < x < 6 \).

6. Объединим решение квадратного неравенства с ОДЗ (\( x > 5 \)):

\( -1 < x < 6 \) и \( x > 5 \) дает \( 5 < x < 6 \).

Ответ: \( 5 < x < 6 \).