5. log_5 (2x-1) + log_5 x > 0

Решение:

Решаем логарифмическое неравенство \( \log_5 (2x-1) + \log_5 x > 0 \). Основание логарифма \( 5 \) больше 1.

1. Определим ОДЗ:

\( 2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > \frac{1}{2} \)

\( x > 0 \)

Общая ОДЗ: \( x > \frac{1}{2} \).

2. Сложим логарифмы по свойству \( \log_b M + \log_b N = \log_b (MN) \):

\( \log_5 ((2x-1)x) > 0 \)
\( \log_5 (2x^2 - x) > 0 \)

3. Представим \( 0 \) как логарифм с основанием \( 5 \): \( 0 = \log_5 1 \).

\( \log_5 (2x^2 - x) > \log_5 1 \)

4. Так как основание \( 5 > 1 \), переходим к неравенству для аргументов, сохраняя знак:

\( 2x^2 - x > 1 \)
\( 2x^2 - x - 1 > 0 \)

5. Решим квадратное неравенство. Найдём корни уравнения \( 2x^2 - x - 1 = 0 \). Используем формулу дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \)
\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{4} = 1 \)
\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \)

Ветви параболы \( y = 2x^2 - x - 1 \) направлены вверх. Неравенство \( 2x^2 - x - 1 > 0 \) выполняется при \( x < -\frac{1}{2} \) или \( x > 1 \).

6. Объединим решение квадратного неравенства с ОДЗ (\( x > \frac{1}{2} \)):

\( (x < -\frac{1}{2} \text{ или } x > 1) \) и \( x > \frac{1}{2} \) дает \( x > 1 \).

Ответ: \( x > 1 \).