6) log_4 x + log_4 (x-3) < 1.

Решение:

Решаем логарифмическое неравенство \( \log_4 x + \log_4 (x-3) < 1 \). Основание логарифма \( 4 \) больше 1.

1. Определим ОДЗ:

\( x > 0 \)

\( x - 3 > 0 \implies x > 3 \)

Общая ОДЗ: \( x > 3 \).

2. Сложим логарифмы по свойству \( \log_b M + \log_b N = \log_b (MN) \):

\( \log_4 (x(x-3)) < 1 \)
\( \log_4 (x^2 - 3x) < 1 \)

3. Представим \( 1 \) как логарифм с основанием \( 4 \): \( 1 = \log_4 4 \).

\( \log_4 (x^2 - 3x) < \log_4 4 \)

4. Так как основание \( 4 > 1 \), переходим к неравенству для аргументов, сохраняя знак:

\( x^2 - 3x < 4 \)
\( x^2 - 3x - 4 < 0 \)

5. Решим квадратное неравенство. Найдём корни уравнения \( x^2 - 3x - 4 = 0 \) по теореме Виета: \( x_1 = 4, x_2 = -1 \).

Ветви параболы \( y = x^2 - 3x - 4 \) направлены вверх. Неравенство \( x^2 - 3x - 4 < 0 \) выполняется при \( -1 < x < 4 \).

6. Объединим решение квадратного неравенства с ОДЗ (\( x > 3 \)):

\( -1 < x < 4 \) и \( x > 3 \) дает \( 3 < x < 4 \).

Ответ: \( 3 < x < 4 \).