6. Катер проплыл 30 км по течению реки и 13 км против течения, затратив на весь путь 1 ч 30 мин. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение:

Пусть \(v\) — собственная скорость катера (в км/ч).

Скорость катера по течению: \(v + 2\) км/ч.

Скорость катера против течения: \(v - 2\) км/ч.

Время в пути: 1 ч 30 мин = 1,5 часа.

1. Выразим время, затраченное на каждый участок пути:
   Время по течению: \(t_1 = \frac{30}{v+2}\) (ч).
   Время против течения: \(t_2 = \frac{13}{v-2}\) (ч).
2. Составим уравнение, исходя из общего времени в пути:
   \(t_1 + t_2 = 1,5 \)
   \( \frac{30}{v+2} + \frac{13}{v-2} = 1,5 \)
3. Решим уравнение:
   Приведём к общему знаменателю \((v+2)(v-2)\) = \(v^2 - 4\):
   \( 30(v-2) + 13(v+2) = 1,5(v^2 - 4) \)
   \( 30v - 60 + 13v + 26 = 1,5v^2 - 6 \)
   \( 43v - 34 = 1,5v^2 - 6 \)
   \( 1,5v^2 - 43v + 34 - 6 = 0 \)
   \( 1,5v^2 - 43v + 28 = 0 \)
   Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
   \( 3v^2 - 86v + 56 = 0 \)
   Найдём дискриминант: \( D = (-86)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 56 = 7396 - 672 = 6724 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{6724} = 82 \)
   Найдем корни:
   \( v_1 = \frac{86 + 82}{2 \cdot 3} = \frac{168}{6} = 28 \)
   \( v_2 = \frac{86 - 82}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
4. Проверим решения:
   Скорость катера должна быть больше скорости течения, то есть \(v > 2\).
   \(v_1 = 28 \) км/ч > 2 км/ч, подходит.
   \(v_2 = \frac{2}{3} \) км/ч < 2 км/ч, не подходит.

Ответ: 28 км/ч.