6) Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 82°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах

Решение:

Пусть касательные, проведенные из точки Р к окружности с центром О, касаются окружности в точках А и В. Угол между касательными \( \angle APB = 82° \).

Рассмотрим четырехугольник PAOB. Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным в точках касания.

\( \angle OAP = 90° \) и \( \angle OBP = 90° \).

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

\( \angle APB + \angle OAP + \angle AOB + \angle OBP = 360° \).

\( 82° + 90° + \angle AOB + 90° = 360° \).

\( 262° + \angle AOB = 360° \).

\( \angle AOB = 360° - 262° = 98° \).

Рассмотрим треугольник AOB. OA = OB (радиусы), следовательно, треугольник AOB — равнобедренный.

\( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - \angle AOB}{2} \).

\( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180° - 98°}{2} = \frac{82°}{2} = 41° \).

Ответ: 41.