6. Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: A (-1;-3), С (5; 1) и Д (5;-3).

Решение:

Даны координаты трех вершин прямоугольника: A(-1;-3), C(5; 1), D(5;-3).

1) Начертите этот прямоугольник.

• Отметьте точки A, C, D на координатной плоскости.


• A(-1;-3): x=-1, y=-3


• D(5;-3): x=5, y=-3


• C(5;1): x=5, y=1


• Заметьте, что у точек A и D одинаковая координата y (-3), значит, отрезок AD является горизонтальной стороной.


• У точек D и C одинаковая координата x (5), значит, отрезок DC является вертикальной стороной.


• Это подтверждает, что ABCD - прямоугольник.

2) Найдите координаты вершины В.

• В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны.


• Вектор AD = (5 - (-1); -3 - (-3)) = (6; 0)


• Вектор DC = (5 - 5; 1 - (-3)) = (0; 4)


• Чтобы найти точку B, нужно от точки A отложить вектор DC, или от точки C отложить вектор AD (с противоположным направлением).


• Найдем B, отложив вектор DC от точки A:


• B = A + DC = (-1 + 0; -3 + 4) = (-1; 1)


• Проверим: Вектор CB = (-1 - 5; 1 - 1) = (-6; 0). Вектор AB = (-1 - (-1); 1 - (-3)) = (0; 4).


• Векторы AD и CB равны (6;0) и (-6;0) (противоположны по направлению, но равны по длине).


• Векторы DC и AB равны (0;4).


• Значит, координаты вершины B: (-1; 1).

3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника.

• Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая является серединой каждой диагонали.


• Найдем середину диагонали AC:


• Середина M = ( (x_A + x_C)/2 ; (y_A + y_C)/2 )


• M = ( (-1 + 5)/2 ; (-3 + 1)/2 ) = ( 4/2 ; -2/2 ) = (2; -1)


• Найдем середину диагонали BD (для проверки):


• M = ( (x_B + x_D)/2 ; (y_B + y_D)/2 )


• M = ( (-1 + 5)/2 ; (1 + (-3))/2 ) = ( 4/2 ; -2/2 ) = (2; -1)


• Координаты точки пересечения диагоналей: (2; -1).

4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

• Длина стороны AD:


• 
  [ AD = √{(5 - (-1))^2 + (-3 - (-3))^2} = √{6^2 + 0^2} = √{36} = 6 \(\text{ см}\) ]


• Длина стороны DC:


• 
  [ DC = √{(5 - 5)^2 + (1 - (-3))^2} = √{0^2 + 4^2} = √{16} = 4 \(\text{ см}\) ]


• Площадь прямоугольника (S):


• 
  [ S = \(\text{длина}\) × \(\text{ширина}\) = AD × DC = 6 \(\text{ см}\) × 4 \(\text{ см}\) = 24 \(\text{ см}\)^2 ]


• Периметр прямоугольника (P):


• 
  [ P = 2 × \(\text{длина} + \text{ширина}\) = 2 × (AD + DC) = 2 × \(6 \text{ см} + 4 \text{ см}\) = 2 × 10 \(\text{ см}\) = 20 \(\text{ см}\) ]

Ответ:

• Координаты вершины B: (-1; 1).


• Координаты точки пересечения диагоналей: (2; -1).


• Площадь прямоугольника: 24 см².


• Периметр прямоугольника: 20 см.