6. (1 балл) Вычислите интеграл: ∫₀² (x² – 2x + 4)dx

Решение:

1. Найдем первообразную функции \( f(x) = x^2 - 2x + 4 \).
2. Первообразная \( F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 4x \).
3. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).
4. \( \int_0^2 (x^2 - 2x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 4x \right]_0^2 \)
5. \( = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 4 \cdot 2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 0^2 + 4 \cdot 0 \right) \)
6. \( = \left( \frac{8}{3} - 4 + 8 \right) - 0 \)
7. \( = \frac{8}{3} + 4 = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{20}{3} \)

Ответ: 20/3