3. (1 балл) Найдите 3 cos a, если sin a = 2√2/3 и a ∈ (π/2; 2π).

Решение:

1. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \).
2. Выразим \( \cos^2 a \): \[ \cos^2 a = 1 - \sin^2 a \]
3. Подставим значение \( \sin a \): \[ \cos^2 a = 1 - \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 2}{9} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \]
4. Извлечём корень: \( \cos a = \pm \frac{1}{3} \).
5. По условию \( a \) находится в промежутке \( (\frac{\pi}{2}; 2\pi) \). Так как \( \sin a > 0 \), то \( a \) может быть во II или I четверти. Но \( \sin a = \frac{2\sqrt{2}}{3} > 0 \) и \( a \in (\frac{\pi}{2}; 2\pi) \), значит \( a \) находится во II четверти (так как \( \sin a > 0 \) во II четверти, а \( \cos a < 0 \)).
6. Поэтому \( \cos a = -\frac{1}{3} \).
7. Найдём \( 3 \cos a \): \[ 3 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) = -1 \]

Ответ: -1