6. (1 балл) Вычислите интеграл: \(\int_{0}^{3} (x^2 + 4x - 1) dx\)

Решение:

Для вычисления определённого интеграла найдём первообразную для функции \(x^2 + 4x - 1\).

Первообразная \(F(x)\) будет иметь вид:

\[ F(x) = \int (x^2 + 4x - 1) dx \]

Используя правила интегрирования степенной функции \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\):

\[ F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} + 4\frac{x^{1+1}}{1+1} - x + C \]\[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - x + C \]\[ F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x + C \]

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \(\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)\). В нашем случае \(a=0\) и \(b=3\). Константу \(C\) можно опустить, так как она сократится.

\[ \int_{0}^{3} (x^2 + 4x - 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 - x \right]_{0}^{3} \]

Подставляем верхний предел интегрирования:

\[ F(3) = \frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3 = \frac{27}{3} + 2(9) - 3 = 9 + 18 - 3 = 24 \]

Подставляем нижний предел интегрирования:

\[ F(0) = \frac{0^3}{3} + 2(0^2) - 0 = 0 \]

Вычисляем разность:

\[ F(3) - F(0) = 24 - 0 = 24 \]

Ответ: 24.