3. (1 балл) Найдите 5 sin a, если cos a = \(\frac{2\sqrt{6}}{5}\) и \(\alpha\in(\frac{3\pi}{2}; 2\pi)\)

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

Подставляем значение \(\cos\alpha\):

\[ \sin^2\alpha + \left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)^2 = 1 \]\[ \sin^2\alpha + \frac{4 \cdot 6}{25} = 1 \]\[ \sin^2\alpha + \frac{24}{25} = 1 \]\[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{24}{25} \]\[ \sin^2\alpha = \frac{1}{25} \]\[ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{25}} = \pm\frac{1}{5} \]

Так как \(\alpha\) находится в IV координатной четверти (\(\alpha\in(\frac{3\pi}{2}; 2\pi)\)), значение \(\sin\alpha\) отрицательное.

Следовательно, \(\sin\alpha = -\frac{1}{5}\).

Теперь найдем \(5\sin\alpha\):

\[ 5\sin\alpha = 5 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -1 \]

Ответ: -1.