6 (1 балл). Вычислите: 2log√2√3+log4 9

Решение:

Для вычисления выражения \( 2\log_{\sqrt{2}}\sqrt{3} + \log_{4}9 \) упростим каждый член отдельно.

1. Первый член: \( 2\log_{\sqrt{2}}\sqrt{3} \)
• Используем свойство логарифма \( c \log_b a = \log_b a^c \):
• \( \log_{\sqrt{2}}(\sqrt{3})^2 = \log_{\sqrt{2}}3 \)
• Используем свойство логарифма \( \log_{b^n} a = \frac{1}{n} \log_b a \):
• \( \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \)
• \( \log_{2^{\frac{1}{2}}}3 = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_2 3 = 2\log_2 3 \)
• Используем свойство логарифма \( c \log_b a = \log_b a^c \):
• \( \log_2 3^2 = \log_2 9 \)
2. Второй член: \( \log_{4}9 \)
• Запишем основание \( 4 \) как \( 2^2 \) и \( 9 \) как \( 3^2 \):
• \( \log_{2^2} 3^2 \)
• Используем свойство логарифма \( \log_{b^n} a^m = \frac{m}{n} \log_b a \):
• \( \frac{2}{2} \log_2 3 = 1 \cdot \log_2 3 = \log_2 3 \)
3. Сложим полученные значения:
• \( 2\log_2 3 + \log_2 3 \)
• \( (2+1)\log_2 3 = 3\log_2 3 \)
• Используем свойство логарифма \( c \log_b a = \log_b a^c \):
• \( \log_2 3^3 = \log_2 27 \)

Ответ: \( \log_2 27 \)