51. Тело движется по закону x(t) = t4 + 0,5t2 – 3t. Найди скорость и ускорение тела через 2 с после начала движения.

Решение:

Чтобы найти скорость, нужно взять первую производную от закона движения \( x(t) \), а чтобы найти ускорение — вторую производную.

1. Найдем скорость \( v(t) \):
   \( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^4 + 0.5t^2 - 3t) \)
   \( v(t) = 4t^3 + 0.5 \cdot 2t - 3 \)
   \( v(t) = 4t^3 + t - 3 \)
   Подставим \( t = 2 \) с:
   \( v(2) = 4(2)^3 + 2 - 3 = 4(8) + 2 - 3 = 32 + 2 - 3 = 31 \) м/с.
2. Найдем ускорение \( a(t) \):
   \( a(t) = v'(t) = x''(t) = \frac{d}{dt}(4t^3 + t - 3) \)
   \( a(t) = 4 \cdot 3t^2 + 1 = 12t^2 + 1 \)
   Подставим \( t = 2 \) с:
   \( a(2) = 12(2)^2 + 1 = 12(4) + 1 = 48 + 1 = 49 \) м/с².

Ответ: Скорость v = 31 м/с, ускорение a = 49 м/с².