5. Вычислите предел: lim (x→1) (x^2-1)/(x^2-3x+2)

Решение:

При подстановке \( x = 1 \) в выражение \( \frac{x^2-1}{x^2-3x+2} \) получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Поэтому необходимо упростить дробь.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \) (разность квадратов).

Знаменатель: \( x^2 - 3x + 2 \). Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - 3x + 2 = 0 \). По теореме Виета, сумма корней равна 3, произведение равно 2. Корни: \( x_1 = 1, x_2 = 2 \). Значит, \( x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \).

Теперь подставим разложенные множители в предел:

\[ \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} \]

Сократим \( (x-1) \) (так как \( x \to 1 \), то \( x \neq 1 \) и \( x-1 \neq 0 \)):

\[ \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x-2} \]

Теперь подставим \( x = 1 \) в упрощённое выражение:

\[ \frac{1+1}{1-2} = \frac{2}{-1} = -2 \]

Ответ: -2