11. Решите неравенство: log3(x-1) + log3(x+5) < log3(5x + 1)

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_3(x-1) + \log_3(x+5) < \log_3(5x + 1) \) необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) и применить свойства логарифмов.

1. ОДЗ: Аргументы логарифмов должны быть положительными:

\( x - 1 > 0 \) => \( x > 1 \)

\( x + 5 > 0 \) => \( x > -5 \)

\( 5x + 1 > 0 \) => \( 5x > -1 \) => \( x > -1/5 \)

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: \( x > 1 \).

2. Применим свойства логарифмов: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \).

\[ \log_3((x-1)(x+5)) < \log_3(5x + 1) \]

\[ \log_3(x^2 + 5x - x - 5) < \log_3(5x + 1) \]

\[ \log_3(x^2 + 4x - 5) < \log_3(5x + 1) \]

3. Сравним аргументы логарифмов: Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), логарифмическая функция возрастающая. Следовательно, мы можем убрать логарифмы, сохранив знак неравенства:

\[ x^2 + 4x - 5 < 5x + 1 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ x^2 + 4x - 5 - 5x - 1 < 0 \]

\[ x^2 - x - 6 < 0 \]

4. Решим квадратное неравенство: Найдем корни квадратного трёхчлена \( x^2 - x - 6 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).

Корни: \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2 \)

\( x_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3 \)

Парабола \( y = x^2 - x - 6 \) ветвями вверх. Неравенство \( x^2 - x - 6 < 0 \) выполняется между корнями: \( -2 < x < 3 \).

5. Учтем ОДЗ: Мы получили, что \( -2 < x < 3 \). Теперь нужно пересечь это решение с ОДЗ \( x > 1 \).

Объединяя \( x > 1 \) и \( -2 < x < 3 \), получаем:

\[ 1 < x < 3 \]

Ответ: \( (1; 3) \)