5. Вычислите предел: lim (2n-1)/(n+1) при n→∞

Решение:

Чтобы найти предел отношения двух многочленов при \( n \to \infty \), разделим числитель и знаменатель на старшую степень \( n \), то есть на \( n \):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n} - \frac{1}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} \]

При \( n \to \infty \), \( \frac{1}{n} \to 0 \). Таким образом:

\[ \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2 \]

Ответ: 2.