12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции: y = (1/4)x⁴ - 2x² + 1

Решение:

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума найдем первую производную функции и приравняем ее к нулю.

Исходная функция: \( y = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1 \)

Найдем производную \( y' \):

\[ y' = \left(\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1\right)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x + 0 = x^3 - 4x \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ x^3 - 4x = 0 \]

\[ x(x^2 - 4) = 0 \]

\[ x(x - 2)(x + 2) = 0 \]

Критические точки: \( x = -2 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \).

Теперь исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками:

1. Интервал \( (-\infty, -2) \): Возьмем \( x = -3 \). \( y'(-3) = (-3)^3 - 4(-3) = -27 + 12 = -15 < 0 \). Функция убывает.

2. Интервал \( (-2, 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( y'(-1) = (-1)^3 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 > 0 \). Функция возрастает.

3. Интервал \( (0, 2) \): Возьмем \( x = 1 \). \( y'(1) = (1)^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3 < 0 \). Функция убывает.

4. Интервал \( (2, \infty) \): Возьмем \( x = 3 \). \( y'(3) = (3)^3 - 4(3) = 27 - 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.

Промежутки монотонности:

• Функция убывает на интервалах \( (-\infty, -2] \) и \( [0, 2] \).
• Функция возрастает на интервалах \( [-2, 0] \) и \( [2, \infty) \).

Точки экстремума:

В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

\( y(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 - 2(-2)^2 + 1 = \frac{1}{4}(16) - 2(4) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3 \). Точка минимума: \( (-2, -3) \).

В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.

\( y(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - 2(0)^2 + 1 = 1 \). Точка максимума: \( (0, 1) \).

В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

\( y(2) = \frac{1}{4}(2)^4 - 2(2)^2 + 1 = \frac{1}{4}(16) - 2(4) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3 \). Точка минимума: \( (2, -3) \).

Ответ: Промежутки монотонности: убывает на \( (-\infty, -2] \) и \( [0, 2] \); возрастает на \( [-2, 0] \) и \( [2, \infty) \). Точки экстремума: минимум в \( (-2, -3) \) и \( (2, -3) \); максимум в \( (0, 1) \).