11. Решите неравенство: log₅(3x + 1) ≤ log₅(x + 2)

Решение:

Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть два условия:

1. Ограничения на аргументы логарифмов (аргументы должны быть положительными):

\[ 3x + 1 > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -\frac{1}{3} \]

\[ x + 2 > 0 \implies x > -2 \]

Объединяя эти условия, получаем \( x > -\frac{1}{3} \).

2. Сравнение аргументов логарифмов. Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), функция \( \log_5(t) \) является возрастающей. Следовательно, если \( \log_5(a) \le \log_5(b) \), то \( a \le b \).

\[ 3x + 1 \le x + 2 \]

Решаем полученное линейное неравенство:

\[ 3x - x \le 2 - 1 \]

\[ 2x \le 1 \]

\[ x \le \frac{1}{2} \]

Теперь объединяем условия: \( x > -\frac{1}{3} \) и \( x \le \frac{1}{2} \).

Получаем интервал:

\[ -\frac{1}{3} < x \le \frac{1}{2} \]

Ответ: \( x \in \left(-\frac{1}{3}; \frac{1}{2}\right] \).