5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = -x² + 6x; y = 0; x = 1; x = 4

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, воспользуемся определенным интегралом. Функция \( y = -x^2 + 6x \) представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. На отрезке \( [1, 4] \) эта функция положительна (вершина параболы находится в \( x = \frac{-6}{2(-1)} = 3 \), \( y = -3^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9 \); \( f(1) = -1+6=5 \), \( f(4) = -16+24=8 \)).

Площадь \( S \) вычисляется как интеграл от верхней функции (параболы) до нижней функции (оси \( y = 0 \)) на заданном отрезке от \( x = 1 \) до \( x = 4 \).

\[ S = \int_{1}^{4} (-x^2 + 6x) dx \]

Найдём первообразную:

\[ \int (-x^2 + 6x) dx = -\frac{x^3}{3} + 6\frac{x^2}{2} + C = -\frac{x^3}{3} + 3x^2 + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 \right]_{1}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + 3 \cdot 4^2 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 3 \cdot 1^2 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{64}{3} + 3 \cdot 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 3 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{64}{3} + 48 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 3 \right) \]

\[ S = \left( -\frac{64}{3} + \frac{144}{3} \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{9}{3} \right) \]

\[ S = \frac{80}{3} - \frac{8}{3} = \frac{72}{3} = 24 \]

Ответ: Площадь фигуры равна 24.