3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум: f(x) = x³ - 12x + 5

Решение:

Для исследования функции на монотонность и экстремум найдём первую производную:

\( f'(x) = (x^3 - 12x + 5)' = 3x^2 - 12 \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 3x^2 - 12 = 0 \)
\( 3x^2 = 12 \)
\( x^2 = 4 \)
\( x = \pm 2 \).

Теперь определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

• На интервале \( (-\infty, -2) \): Возьмём \( x = -3 \). \( f'(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 3 \cdot 9 - 12 = 27 - 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (-2, 2) \): Возьмём \( x = 0 \). \( f'(0) = 3(0)^2 - 12 = -12 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (2, +\infty) \): Возьмём \( x = 3 \). \( f'(3) = 3(3)^2 - 12 = 3 \cdot 9 - 12 = 27 - 12 = 15 > 0 \). Функция возрастает.

Определим точки экстремума:

• В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с '+' на '-', значит, это точка локального максимума. \( f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 5 = -8 + 24 + 5 = 21 \).
• В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с '-' на '+', значит, это точка локального минимума. \( f(2) = (2)^3 - 12(2) + 5 = 8 - 24 + 5 = -11 \).

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty, -2] \) и \( [2, +\infty) \). Функция убывает на \( [-2, 2] \). Точка максимума: \( (-2, 21) \). Точка минимума: \( (2, -11) \).