4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке: f(x) = x²-6x + 10 на отрезке [2; 5]

Решение:

Найдём производную функции \( f(x) = x^2 - 6x + 10 \):

\( f'(x) = 2x - 6 \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 2x - 6 = 0 \)
\( 2x = 6 \)
\( x = 3 \).

Точка \( x = 3 \) принадлежит отрезку \( [2, 5] \).

Теперь вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• \( f(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 10 = 4 - 12 + 10 = 2 \).
• \( f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 = 9 - 18 + 10 = 1 \).
• \( f(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 10 = 25 - 30 + 10 = 5 \).

Наибольшее значение равно 5, наименьшее — 1.

Ответ: Наибольшее значение — 5, наименьшее значение — 1.