5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = -x² + 5x; y = 0; x = 2; x = 4

5. Вычисление площади фигуры:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = -x^2 + 5x \), \( y = 0 \), \( x = 2 \), \( x = 4 \), вычисляется с помощью определенного интеграла:

\[ S = \int_{2}^{4} (-x^2 + 5x) dx \]

1. Найдём первообразную для функции \( -x^2 + 5x \): \( F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} \).
2. Вычислим определенный интеграл: \( S = F(4) - F(2) \)
   \( F(4) = -\frac{4^3}{3} + \frac{5(4^2)}{2} = -\frac{64}{3} + \frac{5(16)}{2} = -\frac{64}{3} + 40 = \frac{-64 + 120}{3} = \frac{56}{3} \)
   \( F(2) = -\frac{2^3}{3} + \frac{5(2^2)}{2} = -\frac{8}{3} + \frac{5(4)}{2} = -\frac{8}{3} + 10 = \frac{-8 + 30}{3} = \frac{22}{3} \)
   \( S = \frac{56}{3} - \frac{22}{3} = \frac{34}{3} \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{34}{3} \) квадратных единиц.