3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум: f(x) = 3x² - x³ - 1

3. Исследование функции \( f(x) = 3x^2 - x^3 - 1 \) на монотонность и экстремум:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = 6x - 3x^2 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6x - 3x^2 = 0 \)
   \( 3x(2 - x) = 0 \)
   \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \).
3. Определим знаки производной на интервалах:
   • На интервале \( (-\infty; 0) \), например, при \( x = -1 \): \( f'(-1) = 6(-1) - 3(-1)^2 = -6 - 3 = -9 < 0 \). Функция убывает.
   • На интервале \( (0; 2) \), например, при \( x = 1 \): \( f'(1) = 6(1) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
   • На интервале \( (2; \infty) \), например, при \( x = 3 \): \( f'(3) = 6(3) - 3(3)^2 = 18 - 27 = -9 < 0 \). Функция убывает.
4. Определим точки экстремума:
   • В точке \( x = 0 \) производная меняет знак с "-" на "+", значит, это точка минимума. \( f(0) = 3(0)^2 - 0^3 - 1 = -1 \).
   • В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с "+" на "-", значит, это точка максимума. \( f(2) = 3(2)^2 - 2^3 - 1 = 3(4) - 8 - 1 = 12 - 8 - 1 = 3 \).

Ответ: Функция убывает на \( (-\infty; 0) \) и \( (2; \infty) \). Функция возрастает на \( (0; 2) \). Точка минимума: \( (0; -1) \). Точка максимума: \( (2; 3) \).