5. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями: у = 8х - х²-2, у=х+8.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя линиями, нужно найти точки их пересечения, а затем вычислить определенный интеграл разности функций.

1. Найдем точки пересечения, приравняв уравнения:
2. \( 8x - x^2 - 2 = x + 8 \)
3. Перенесем все члены в одну сторону:
4. \( -x^2 + 8x - x - 2 - 8 = 0 \)
5. \( -x^2 + 7x - 10 = 0 \)
6. Умножим на -1, чтобы упростить:
7. \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)
8. Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
9. \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \)
10. \( \sqrt{D} = 3 \)
11. Найдем корни:
12. \( x_1 = \frac{7 + 3}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \)
13. \( x_2 = \frac{7 - 3}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \)
14. Точки пересечения по оси x: \( x=2 \) и \( x=5 \).
15. Теперь определим, какая функция находится выше на отрезке [2; 5]. Возьмем, например, \( x=3 \):
16. \( y_1(3) = 8(3) - 3^2 - 2 = 24 - 9 - 2 = 13 \)
17. \( y_2(3) = 3 + 8 = 11 \)
18. Так как \( y_1(3) > y_2(3) \), то функция \( y = 8x - x^2 - 2 \) находится выше.
19. Площадь фигуры вычисляется по формуле:
20. \( S = \int_{a}^{b} (y_{верхняя} - y_{нижняя}) dx \)
21. \( S = \int_{2}^{5} ((8x - x^2 - 2) - (x + 8)) dx \)
22. \( S = \int_{2}^{5} (8x - x^2 - 2 - x - 8) dx \)
23. \( S = \int_{2}^{5} (-x^2 + 7x - 10) dx \)
24. Вычислим определенный интеграл:
25. \( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 10x \right]_{2}^{5} \)
26. \( S = \left( -\frac{5^3}{3} + \frac{7 \cdot 5^2}{2} - 10 \cdot 5 \right) - \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{7 \cdot 2^2}{2} - 10 \cdot 2 \right) \)
27. \( S = \left( -\frac{125}{3} + \frac{7 \cdot 25}{2} - 50 \right) - \left( -\frac{8}{3} + \frac{7 \cdot 4}{2} - 20 \right) \)
28. \( S = \left( -\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 14 - 20 \right) \)
29. \( S = \left( -\frac{125}{3} + \frac{175}{2} - 50 \right) - \left( -\frac{8}{3} - 6 \right) \)
30. Приведем к общему знаменателю 6:
31. \( S = \left( -\frac{250}{6} + \frac{525}{6} - \frac{300}{6} \right) - \left( -\frac{16}{6} - \frac{36}{6} \right) \)
32. \( S = \left( \frac{-250 + 525 - 300}{6} \right) - \left( \frac{-16 - 36}{6} \right) \)
33. \( S = \left( \frac{-25}{6} \right) - \left( \frac{-52}{6} \right) \)
34. \( S = \frac{-25 + 52}{6} = \frac{27}{6} \)
35. Упростим дробь:
36. \( S = \frac{9}{2} = 4.5 \)

Ответ: 4.5.