5. Внутри равностороннего треугольника KLM взята точка С такая, что СК=CL=СМ. Докажите, ΔLCM=ΔKCM.

Решение:

Дано: \( \triangle KLM \) — равносторонний. Точка C внутри \( \triangle KLM \) такая, что \( CK = CL = CM \).

Доказать: \( \triangle LCM = \triangle KCM \).

Доказательство:

1. Так как \( \triangle KLM \) — равносторонний, то все его стороны равны: \( KL = LM = MK \), и все его углы равны \( 60^{\circ} \): \( \angle LKM = \angle KML = \angle MLK = 60^{\circ} \).
2. По условию, \( CL = CM \) и \( CK = CL = CM \).
3. Рассмотрим \( \triangle LCM \) и \( \triangle KCM \):
• \( CL = CM \) (по условию).
• \( CM = CK \) (по условию).
• \( LC = KC \) (по условию).
4. Таким образом, \( \triangle LCM \) и \( \triangle KCM \) имеют три пары равных сторон: \( CL=CM \), \( CM=CK \) и \( LC=KC \).
5. По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
6. Следовательно, \( \triangle LCM = \triangle KCM \).

Ответ: равенство треугольников доказано.