4. В ΔMNP проведена медиана NK. Известно, что NK=MK, угол MNP равен 90°, угол NPK равен 44°. Найдите ∠KMN и ∠MNK.

Решение:

В условии задачи есть противоречие: указано, что NK — медиана в \( ΔMNP \), но также указано, что NK=MK, что подразумевает точку K на стороне NP, а не на MN. Исходя из рисунка и текста, предполагается, что K — середина стороны MP, а NK — медиана. Однако, условие \(NK=MK\) не применимо к медиане \(NK\) в \( ΔMNP \), где K — середина MP. Условие \(NK=MK\) возможно, если K — середина MP, тогда \( ∆MNP \) - прямоугольный \( (∠MNP=90^\circ) \) и \(NK=MK=KP\) (радиус описанной окружности). Предположим, что K — середина MP, тогда \( ∠MPN = 44^\circ \).

Рассмотрим \( ∆MNP \). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\).

\( ∠NMP + ∠MNP + ∠MPN = 180^\circ \)

\( ∠NMP + 90^\circ + 44^\circ = 180^\circ \)

\( ∠NMP + 134^\circ = 180^\circ \)

\( ∠NMP = 180^\circ - 134^\circ \)

\( ∠NMP = 46^\circ \).

Так как \(NK\) — медиана, то \(K\) — середина \(MP\). В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть \(NK = MK = KP\). Это означает, что \( ∆NKM \) и \( ∆NKP \) — равнобедренные.

В \( ∆NKP \): \( ∠NKP = ∠NPK = 44^\circ \).

\( ∠MNK = ∠MNP - ∠PNK = 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ \).

В \( ∆NKM \): \( ∠NKM \) — внешний угол \( ∆MNP \), равный \(180 - 90 = 90\) градусов. Или \( ∠NKM = 180^\circ - ∠NKP = 180^\circ - 44^\circ = 136^\circ \).

Углы при основании \( ∆NKM \) равны, значит \( ∠KMN = ∠KNM \). Сумма углов в \( ∆NKM \) равна \(180^\circ\).

\( ∠KMN + ∠KNM + ∠NKM = 180^\circ \)

\( 2 ∠KMN + 136^\circ = 180^\circ \)

\( 2 ∠KMN = 180^\circ - 136^\circ \)

\( 2 ∠KMN = 44^\circ \)

\( ∠KMN = 22^\circ \).

\( ∠MNK = ∠NMP = 46^\circ \).

Ответ: \( ∠KMN = 22^\circ \), \( ∠MNK = 46^\circ \).