5. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Из урны наугад выбирают 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара черные?

Решение:

Общее количество шаров в урне: \( 3 + 7 = 10 \) шаров.

Мы выбираем 2 шара наугад.

1. Вероятность того, что первый выбранный шар будет чёрным:

\( P(\text{1-й чёрный}) = \frac{\text{количество чёрных шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{7}{10} \)

2. После того как мы вытащили один чёрный шар, в урне осталось \( 9 \) шаров, из которых \( 6 \) чёрные.

Вероятность того, что второй выбранный шар тоже будет чёрным:

\( P(\text{2-й чёрный} | \text{1-й чёрный}) = \frac{\text{количество оставшихся чёрных шаров}}{\text{общее количество оставшихся шаров}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)

3. Вероятность того, что оба шара окажутся чёрными, равна произведению этих вероятностей:

\( P(\text{оба чёрные}) = P(\text{1-й чёрный}) \cdot P(\text{2-й чёрный} | \text{1-й чёрный}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15} \)

Ответ: \( \frac{7}{15} \).