3. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой y = 1/3 x^3 + 2, осью ОХ и прямыми х = 0, х = 3.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = f(x) \), осью ОХ и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется по формуле:

\[ A = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В нашем случае \( f(x) = \frac{1}{3} x^3 + 2 \), \( a = 0 \), \( b = 3 \).

1. Найдём первообразную функции \( y = \frac{1}{3} x^3 + 2 \):

\( F(x) = \int \left( \frac{1}{3} x^3 + 2 \right) dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{4} + 2x = \frac{x^4}{12} + 2x \)

2. Вычислим определённый интеграл:

\( A = \left[ \frac{x^4}{12} + 2x \right]_{0}^{3} = \left( \frac{3^4}{12} + 2 \cdot 3 \right) - \left( \frac{0^4}{12} + 2 \cdot 0 \right) \)

\( A = \left( \frac{81}{12} + 6 \right) - 0 \)

\( A = \frac{27}{4} + 6 \)

\( A = 6.75 + 6 \)

\( A = 12.75 \)

Ответ: 12.75.