5. В треугольнике АВС прямая MN, параллельная стороне АС, делит сторону ВС на отрезки BN=15 см NC=5 см, а сторону АВ на ВМ и АМ. Найдите длину отрезка MN, если АС=15 см.

Решение:

Прямая MN параллельна стороне AC, значит, треугольник BMN подобен треугольнику BAC по двум углам (угол B общий, \( \angle BMN = \angle BAC \) как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

\( \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \)

По условию:

• \( BN = 15 \) см
• \( NC = 5 \) см
• \( BC = BN + NC = 15 + 5 = 20 \) см
• \( AC = 15 \) см

Подставим известные значения в пропорцию:

\( \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \)
\[ \frac{15 \text{ см}}{20 \text{ см}} = \frac{MN}{15 \text{ см}} \]

Решим пропорцию для MN:

\[ MN = \frac{15 \text{ см} \cdot 15 \text{ см}}{20 \text{ см}} = \frac{225}{20} \] см.

Упростим дробь:

\[ MN = \frac{45}{4} = 11.25 \] см.

Ответ: 11.25 см.