5. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Если один острый угол равен 45°, то второй острый угол равен 90° - 45° = 45°.

Следовательно, данный прямоугольный треугольник является равнобедренным, то есть его катеты равны.

Обозначим катеты как a и b, а гипотенузу как c.

По теореме Пифагора: a² + b² = c².

Так как a = b, то:

a² + a² = 70²

2a² = 4900

a² = 4900 / 2

a² = 2450

a = √2450 = √1225 · 2 = 35√2

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

S = ½ · a · b

Так как a = b:

S = ½ · a²

S = ½ · 2450

S = 1225

Ответ: 1225