4. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и ВС, угол ОАВ равен 70°. Найдите величину угла OCD.

Решение:

Рассмотрим треугольник △ OAB. Так как OA и OB — радиусы одной окружности, то △ OAB — равнобедренный.

Следовательно, ∠ OBA = ∠ OAB = 70°.

Сумма углов в △ OAB равна 180°:

∠ AOB + ∠ OBA + ∠ OAB = 180°

∠ AOB + 70° + 70° = 180°

∠ AOB + 140° = 180°

∠ AOB = 180° - 140°

∠ AOB = 40°

∠ AOB и ∠ COD — вертикальные углы, следовательно, ∠ COD = ∠ AOB = 40°.

Рассмотрим треугольник △ OCD. Так как OC и OD — радиусы одной окружности, то △ OCD — равнобедренный.

Следовательно, ∠ ODC = ∠ OCD.

Сумма углов в △ OCD равна 180°:

∠ COD + ∠ ODC + ∠ OCD = 180°

40° + ∠ OCD + ∠ OCD = 180°

40° + 2 · ∠ OCD = 180°

2 · ∠ OCD = 180° - 40°

2 · ∠ OCD = 140°

∠ OCD = 140° / 2

∠ OCD = 70°

Ответ: 70