5. В правильной треугольной пирамиде плоскоский угол при вершине равен α. Найдите объём пирамиды, если её высота равна h.

Решение:

• Объём правильной треугольной пирамиды (V) вычисляется по формуле: V = (1/3) * Sосн * h, где Sосн — площадь основания, а h — высота пирамиды.
• Основание — правильный (равносторонний) треугольник.
• Плоскостный угол при вершине равен α. Это означает, что угол между двумя боковыми рёбрами, исходящими из одной вершины, равен α.
• В правильной треугольной пирамиде все три боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
• Рассмотрим одну из боковых граней. Её основание — сторона правильного треугольника основания (a), а боковые стороны — боковые рёбра пирамиды (l). Угол между боковыми рёбрами равен α.
• Используем теорему косинусов для нахождения стороны основания a через боковое ребро l: a² = l² + l² - 2 * l * l * cos(α) = 2l²(1 - cos(α)).
• a = l * √(2(1 - cos(α))).
• Используя формулу половинного угла: 1 - cos(α) = 2sin²(α/2).
• a = l * √(2 * 2sin²(α/2)) = l * √(4sin²(α/2)) = 2l * sin(α/2).
• Теперь найдём высоту основания h_осн, которая является высотой равнобедренного треугольника боковой грани.
• h_осн = l * cos(α/2).
• Площадь основания (правильного треугольника со стороной a): Sосн = (a² * √3) / 4.
• a² = (2l * sin(α/2))² = 4l² * sin²(α/2).
• Sосн = (4l² * sin²(α/2) * √3) / 4 = l² * sin²(α/2) * √3.
• Теперь нужно выразить l через высоту пирамиды h.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (h), радиусом окружности, описанной около основания (R_осн), и боковым ребром (l).
• Для правильного треугольника радиус описанной окружности: R_осн = a / √3.
• R_осн = (2l * sin(α/2)) / √3.
• В прямоугольном треугольнике: l² = h² + R_осн².
• l² = h² + (2l * sin(α/2) / √3)² = h² + (4l² * sin²(α/2)) / 3.
• l² - (4l² * sin²(α/2)) / 3 = h².
• l² * (1 - 4sin²(α/2) / 3) = h².
• l² * (3 - 4sin²(α/2)) / 3 = h².
• l² = 3h² / (3 - 4sin²(α/2)).
• Теперь подставим l² в формулу площади основания:
• Sосн = [3h² / (3 - 4sin²(α/2))] * sin²(α/2) * √3.
• Sосн = (3√3 * h² * sin²(α/2)) / (3 - 4sin²(α/2)).
• Теперь вычисляем объём:
• V = (1/3) * Sосн * h = (1/3) * [(3√3 * h² * sin²(α/2)) / (3 - 4sin²(α/2))] * h.
• V = (√3 * h³ * sin²(α/2)) / (3 - 4sin²(α/2)).

Ответ: V = (√3 * h³ * sin²(α/2)) / (3 - 4sin²(α/2))