4. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом α при основании и радиусом вписанной окружности r. Две боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны основания, перпендикулярны плоскости основания, а третья наклонена к ней под углом β. Найдите объём пирамиды.

Решение:

• Объём пирамиды (V) вычисляется по формуле: V = (1/3) * Sосн * h, где Sосн — площадь основания, а h — высота пирамиды.
• Основание — равнобедренный треугольник. Пусть боковые стороны равны b, а основание — a. Угол при основании — α.
• Радиус вписанной окружности r.
• Площадь равнобедренного треугольника: Sосн = (1/2) * a * (b * sin(α)).
• Также площадь можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр (p): Sосн = r * p.
• p = (a + 2b) / 2.
• Высота пирамиды h.
• Две боковые грани перпендикулярны основанию. Это означает, что высота пирамиды лежит в той грани, которая наклонена под углом β.
• Пусть высота пирамиды — h. Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды (h), радиусом вписанной окружности (r), и линией, проведенной из центра вписанной окружности к точке касания на одной из сторон основания.
• В грани, наклоненной под углом β, высота пирамиды h будет катетом прямоугольного треугольника, а радиус вписанной окружности r (или отрезок, связанный с ним) будет другим катетом или прилежащим катетом к углу β.
• В задаче сказано, что радиус вписанной окружности r. Если предположить, что центр вписанной окружности является точкой, из которой опущены перпендикуляры на боковые стороны, то высота пирамиды h будет связана с r и β.
• Пусть H - высота пирамиды. Пусть O - центр вписанной окружности. Пусть K - точка касания вписанной окружности со стороной основания, лежащей в наклонной грани. Тогда OK = r. Угол между плоскостью основания и наклонной гранью равен β.
• В прямоугольном треугольнике, образованном H, OK и проекцией OK на основание (если центр вписанной окружности лежит в плоскости основания, это сам OK), мы имеем: tan(β) = H / r.
• Отсюда высота пирамиды: H = r * tan(β).
• Теперь нужно найти площадь основания Sосн.
• В равнобедренном треугольнике с углом α при основании и радиусом вписанной окружности r:
• r = (a * tan(α/2)) / 2, где a - основание треугольника.
• a = 2r / tan(α/2).
• Высота равнобедренного треугольника h_осн: h_осн = (a/2) * tan(α) = (r / tan(α/2)) * tan(α).
• Sосн = (1/2) * a * h_осн = (1/2) * (2r / tan(α/2)) * (r * tan(α) / tan(α/2)) = (r² * tan(α)) / tan²(α/2).
• Используя формулу тангенса двойного угла: tan(α) = 2tan(α/2) / (1 - tan²(α/2)).
• Sосн = (r² * 2tan(α/2) / (1 - tan²(α/2))) / tan²(α/2) = 2r² / (tan(α/2) * (1 - tan²(α/2))).
• Это выглядит громоздко. Попробуем иначе.
• В равнобедренном треугольнике: r = S / p.
• S = (1/2) * a * h_осн.
• p = (a + 2b) / 2.
• tan(α) = h_осн / (a/2) => h_осн = (a/2)tan(α).
• cos(α) = (a/2) / b => b = a / (2cos(α)).
• p = (a + 2 * a / (2cos(α))) / 2 = (a + a/cos(α)) / 2 = a(1 + 1/cos(α)) / 2 = a(cos(α) + 1) / (2cos(α)).
• S = (1/2) * a * (a/2)tan(α) = a² tan(α) / 4.
• r = S / p = (a² tan(α) / 4) / (a(cos(α) + 1) / (2cos(α))) = (a² tan(α) * 2cos(α)) / (4 * a * (cos(α) + 1)) = (a * sin(α) / cos(α) * 2cos(α)) / (2 * (cos(α) + 1)) = a * sin(α) / (cos(α) + 1).
• Отсюда a = r * (cos(α) + 1) / sin(α).
• Sосн = a² tan(α) / 4 = [r * (cos(α) + 1) / sin(α)]² * tan(α) / 4 = r² * (cos(α) + 1)² / sin²(α) * sin(α) / cos(α) / 4 = r² * (cos(α) + 1)² / (4 * sin(α) * cos(α)).
• Используя sin(α) = 2sin(α/2)cos(α/2) и cos(α) = 2cos²(α/2) - 1, cos(α) + 1 = 2cos²(α/2).
• Sосн = r² * (2cos²(α/2))² / (4 * 2sin(α/2)cos(α/2) * cos(α)) = r² * 4cos⁴(α/2) / (8sin(α/2)cos(α/2)cos(α)) = r² * cos³(α/2) / (2sin(α/2)cos(α)).
• Это сложно. Вернемся к tan(β) = H / r.
• Объем пирамиды: V = (1/3) * Sосн * H = (1/3) * Sосн * r * tan(β).
• Нужно найти Sосн через r и α.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой треугольника основания h_осн, половиной основания a/2 и боковой стороной b.
• r = (a/2) * tan(α/2). => a/2 = r / tan(α/2). => a = 2r / tan(α/2).
• h_осн = (a/2) * tan(α) = (r / tan(α/2)) * tan(α).
• Sосн = (1/2) * a * h_осн = (1/2) * (2r / tan(α/2)) * (r * tan(α) / tan(α/2)) = (r² * tan(α)) / tan²(α/2).
• V = (1/3) * [(r² * tan(α)) / tan²(α/2)] * r * tan(β) = (r³ * tan(α) * tan(β)) / (3 * tan²(α/2)).
• Используя tan(α) = 2tan(α/2) / (1 - tan²(α/2)):
• V = (r³ * (2tan(α/2) / (1 - tan²(α/2))) * tan(β)) / (3 * tan²(α/2))
• V = (2 * r³ * tan(β)) / (3 * tan(α/2) * (1 - tan²(α/2))).
• Это слишком громоздко. Попробуем использовать другие соотношения.
• Пусть O - центр вписанной окружности, K - точка касания на одной из боковых сторон основания, P - вершина пирамиды. Высота пирамиды PO = H.
• Рассмотрим грань, наклоненную под углом β. Угол между плоскостью основания и этой гранью равен β.
• O лежит на биссектрисе угла при вершине равнобедренного треугольника.
• Перпендикуляр из O на сторону основания, лежащую в наклонной грани, равен r.
• Тогда tan(β) = H / r => H = r * tan(β).
• Площадь основания: Sосн.
• r = Sосн / p, где p - полупериметр.
• S = (1/2) * a * h_осн.
• h_осн = (a/2) * tan(α).
• b = a / (2cos(α)).
• p = (a + 2b)/2 = a/2 + b = a/2 + a/(2cos(α)) = (a(cos(α)+1))/(2cos(α)).
• Sосн = (1/2) * a * (a/2)tan(α) = a² tan(α) / 4.
• r = (a² tan(α) / 4) / ((a(cos(α)+1))/(2cos(α))) = (a² tan(α) * 2cos(α)) / (4 * a * (cos(α)+1)) = (a * sin(α) / cos(α) * 2cos(α)) / (2 * (cos(α)+1)) = a * sin(α) / (cos(α)+1).
• Отсюда a = r * (cos(α)+1) / sin(α).
• Sосн = a² tan(α) / 4 = [r(cos(α)+1)/sin(α)]² * tan(α) / 4.
• V = (1/3) * Sосн * H = (1/3) * [r²(cos(α)+1)²/sin²(α)] * (sin(α)/cos(α))/4 * r * tan(β)
• V = r³ * tan(β) * (cos(α)+1)² * sin(α) / (12 * sin²(α) * cos(α)).
• V = r³ * tan(β) * (cos(α)+1)² / (12 * sin(α) * cos(α)).
• Используем sin(α) = 2sin(α/2)cos(α/2) и cos(α)+1 = 2cos²(α/2).
• V = r³ * tan(β) * (2cos²(α/2))² / (12 * 2sin(α/2)cos(α/2) * cos(α))
• V = r³ * tan(β) * 4cos⁴(α/2) / (24 * sin(α/2)cos(α/2) * cos(α))
• V = r³ * tan(β) * cos³(α/2) / (6 * sin(α/2) * cos(α)).
• Проверим, если α=60°, то треугольник равносторонний. a=b. h_осн = a√3/2. S = a²√3/4. p = 3a/2. r = S/p = (a²√3/4) / (3a/2) = a√3 / 6.
• a = 6r/√3 = 2r√3.
• S = (2r√3)²√3 / 4 = 12r²√3 / 4 = 3√3 r².
• V = (1/3) * S * H = (1/3) * 3√3 r² * r tan(β) = √3 r³ tan(β).
• По формуле: V = (r³ * tan(β) * cos³(30°)) / (6 * sin(30°) * cos(60°))
• cos(30°) = √3/2, sin(30°) = 1/2, cos(60°) = 1/2.
• V = (r³ * tan(β) * (√3/2)³) / (6 * (1/2) * (1/2)) = (r³ * tan(β) * 3√3 / 8) / (6 * 1/4) = (r³ * tan(β) * 3√3 / 8) / (3/2)
• V = r³ * tan(β) * 3√3 / 8 * 2 / 3 = r³ * tan(β) * √3 / 4.
• Не совпадает.
• Вернемся к tan(β) = H / r. Это верно, если r — это расстояние от точки пересечения высот до боковой стороны основания, которая лежит в наклонной грани.
• Объём пирамиды: V = (1/3) * Sосн * H.
• H = r * tan(β).
• Sосн = p * r.
• p = (a + 2b) / 2.
• a = 2r / tan(α/2).
• b = a / (2cos(α)) = r / (tan(α/2)cos(α)).
• p = (2r / tan(α/2) + 2 * r / (tan(α/2)cos(α))) / 2 = r / tan(α/2) + r / (tan(α/2)cos(α)) = (r / tan(α/2)) * (1 + 1/cos(α)) = (r / tan(α/2)) * (cos(α) + 1) / cos(α).
• Sосн = p * r = (r² / tan(α/2)) * (cos(α) + 1) / cos(α).
• V = (1/3) * Sосн * H = (1/3) * [(r² / tan(α/2)) * (cos(α) + 1) / cos(α)] * r * tan(β).
• V = (r³ * tan(β) * (cos(α) + 1)) / (3 * tan(α/2) * cos(α)).
• Проверим равносторонний треугольник α=60°. cos(60°)=1/2, tan(30°)=1/√3.
• V = (r³ * tan(β) * (1/2 + 1)) / (3 * (1/√3) * (1/2)) = (r³ * tan(β) * 3/2) / (3 / (2√3)) = (r³ * tan(β) * 3/2) * (2√3 / 3) = r³ * tan(β) * √3.
• Это совпадает с предыдущим расчётом для равностороннего треугольника.

Ответ: V = (r³ * tan(β) * (cos(α) + 1)) / (3 * tan(α/2) * cos(α))