5. Упростить выражение и найти его значение при \( a = \frac{1}{2} \): \( \frac{a^{-9}}{a^{-2} \cdot a^{-5}} \)

Решение:

1. Упростим выражение, используя свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
2. Сначала упростим знаменатель: \( a^{-2} \cdot a^{-5} = a^{-2 + (-5)} = a^{-7} \).
3. Теперь упростим дробь: \( \frac{a^{-9}}{a^{-7}} = a^{-9 - (-7)} = a^{-9 + 7} = a^{-2} \).
4. Выражение упрощено до \( a^{-2} \).
5. Найдем значение выражения при \( a = \frac{1}{2} \): \( a^{-2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} = \frac{1}{\left( \frac{1}{2} \right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4 \).

Ответ: 4.