5. Системы двух уравнений с двумя неизвестными.

5.1. Решите системы уравнений:

1. а)
   \( \begin{cases} 3a + 7b - 8 = 0 \\ a + 5b - 4 = 0 \end{cases} \)
   Из второго уравнения выразим \( a \):
   \( a = 4 - 5b \)
   Подставим в первое уравнение:
   \( 3(4 - 5b) + 7b - 8 = 0 \)
   \( 12 - 15b + 7b - 8 = 0 \)
   \( 4 - 8b = 0 \)
   \( 8b = 4 \)
   \( b = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
   Теперь найдём \( a \):
   \( a = 4 - 5b = 4 - 5 \times \frac{1}{2} = 4 - \frac{5}{2} = \frac{8-5}{2} = \frac{3}{2} \)
   

   Ответ: \( a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2} \).



2. б)
   \( \begin{cases} 2(2x - y) + 3(2x + y) = 32 \\ 5(2x - y) - 2(2x + y) = 4 \end{cases} \)
   Раскроем скобки:
   \( \begin{cases} 4x - 2y + 6x + 3y = 32 \\ 10x - 5y - 4x - 2y = 4 \end{cases} \)
   Приведём подобные члены:
   \( \begin{cases} 10x + y = 32 \\ 6x - 7y = 4 \end{cases} \)
   Из первого уравнения выразим \( y \):
   \( y = 32 - 10x \)
   Подставим во второе уравнение:
   \( 6x - 7(32 - 10x) = 4 \)
   \( 6x - 224 + 70x = 4 \)
   \( 76x = 4 + 224 \)
   \( 76x = 228 \)
   \( x = \frac{228}{76} = 3 \)
   Теперь найдём \( y \):
   \( y = 32 - 10x = 32 - 10 \times 3 = 32 - 30 = 2 \)
   

   Ответ: \( x = 3, y = 2 \).

5.2. Катер за 3 ч по течению и 5 ч против течения проходит 92 км. За 5 ч по течению катер проходит на 10 км больше, чем за 6 ч против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения.

Дано:

• \( v_к \) — собственная скорость катера


• \( v_т \) — скорость течения


• \( v_по_т = v_к + v_т \)


• \( v_пр_т = v_к - v_т \)

Решение:

Составим систему уравнений по условию задачи:

\( \begin{cases} 3(v_к + v_т) + 5(v_к - v_т) = 92 \\ 5(v_к + v_т) = 6(v_к - v_т) + 10 \end{cases} \)
Раскроем скобки:
\( \begin{cases} 3v_к + 3v_т + 5v_к - 5v_т = 92 \\ 5v_к + 5v_т = 6v_к - 6v_т + 10 \end{cases} \)
Приведём подобные члены:
\( \begin{cases} 8v_к - 2v_т = 92 \\ 5v_к + 5v_т - 6v_к + 6v_т = 10 \end{cases} \)
Упростим второе уравнение:
\( \begin{cases} 8v_к - 2v_т = 92 \\ -v_к + 11v_т = 10 \end{cases} \)
Из второго уравнения выразим \( v_к \):
\( v_к = 11v_т - 10 \)
Подставим в первое уравнение:
\( 8(11v_т - 10) - 2v_т = 92 \)
\( 88v_т - 80 - 2v_т = 92 \)
\( 86v_т = 92 + 80 \)
\( 86v_т = 172 \)
\( v_т = \frac{172}{86} = 2 \text{ км/ч} \)
Теперь найдём \( v_к \):
\( v_к = 11v_т - 10 = 11 \times 2 - 10 = 22 - 10 = 12 \text{ км/ч} \)

Ответ: Собственная скорость катера 12 км/ч, скорость течения 2 км/ч.

5.3. График линейной функции проходит через точки А и В. Задайте эту функцию формулой. если А(4;2) и В(-4;0).

Линейная функция имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим координаты точек \( A(4, 2) \) и \( B(-4, 0) \) в уравнение:

\( \begin{cases} 2 = 4k + b \\ 0 = -4k + b \end{cases} \)
Из второго уравнения выразим \( b \):
\( b = 4k \)
Подставим в первое уравнение:
\( 2 = 4k + 4k \)
\( 2 = 8k \)
\( k = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)
Теперь найдём \( b \):
\( b = 4k = 4 \times \frac{1}{4} = 1 \)

Формула функции: \( y = \frac{1}{4}x + 1 \).

Ответ: \( y = \frac{1}{4}x + 1 \).