1. Уравнения с одним неизвестным.

1.1. Решите уравнения:

1. а) \( 2.2y - 5\frac{3}{4} = 8.55 \)
   \( 2.2y - 5.75 = 8.55 \)
   \( 2.2y = 8.55 + 5.75 \)
   \( 2.2y = 14.3 \)
   \( y = \frac{14.3}{2.2} \)
   \( y = 6.5 \)


2. б) \( 1.2 - 4x - 3(2x + 0.7) = -2.4 \)
   \( 1.2 - 4x - 6x - 2.1 = -2.4 \)
   \( -10x - 0.9 = -2.4 \)
   \( -10x = -2.4 + 0.9 \)
   \( -10x = -1.5 \)
   \( x = \frac{-1.5}{-10} \)
   \( x = 0.15 \)


3. в) \( \frac{2x+7}{3} - \frac{x-3}{2} = 4x \)
   Умножим обе части уравнения на 6 (наименьший общий знаменатель):
   \( 6 \cdot \frac{2x+7}{3} - 6 \cdot \frac{x-3}{2} = 6 \cdot 4x \)
   \( 2(2x+7) - 3(x-3) = 24x \)
   \( 4x + 14 - 3x + 9 = 24x \)
   \( x + 23 = 24x \)
   \( 23 = 24x - x \)
   \( 23 = 23x \)
   \( x = 1 \)


4. г) \( 2x - 1 - \frac{3x-4}{2} = \frac{x+1}{3} - \frac{x+2}{2} \)
   Умножим обе части уравнения на 6 (наименьший общий знаменатель):
   \( 6(2x - 1) - 6 \cdot \frac{3x-4}{2} = 6 \cdot \frac{x+1}{3} - 6 \cdot \frac{x+2}{2} \)
   \( 12x - 6 - 3(3x-4) = 2(x+1) - 3(x+2) \)
   \( 12x - 6 - 9x + 12 = 2x + 2 - 3x - 6 \)
   \( 3x + 6 = -x - 4 \)
   \( 3x + x = -4 - 6 \)
   \( 4x = -10 \)
   \( x = \frac{-10}{4} \)
   \( x = -2.5 \)

1.2. Расстояние между городами А и В машина прошла за 1 ч 15 мин. Обратный путь машина прошла за 1ч 30 мин. Найдите скорость машины, если известно, что на обратном пути скорость была на 10 км/ч меньше.

Дано:

• Время туда: \( t_1 = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1.25 \text{ ч} \)


• Время обратно: \( t_2 = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1.5 \text{ ч} \)


• \( v_2 = v_1 - 10 \text{ км/ч} \)

Найти: \( v_1 \)

Решение:

Пусть \( S \) — расстояние между городами А и В.

Скорость туда: \( v_1 = \frac{S}{t_1} = \frac{S}{1.25} \)

Скорость обратно: \( v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{S}{1.5} \)

По условию \( v_2 = v_1 - 10 \). Подставим выражения для скоростей:

\( \frac{S}{1.5} = \frac{S}{1.25} - 10 \)
Умножим обе части на \( 1.5 \times 1.25 = 1.875 \) (наименьший общий знаменатель):
\( 1.25S = 1.5S - 10 \times 1.875 \)
\( 1.25S = 1.5S - 18.75 \)
\( 18.75 = 1.5S - 1.25S \)
\( 18.75 = 0.25S \)
\( S = \frac{18.75}{0.25} = 75 \text{ км} \)
Теперь найдём \( v_1 \):
\( v_1 = \frac{S}{t_1} = \frac{75}{1.25} = 60 \text{ км/ч} \)
Проверим \( v_2 \):
\( v_2 = \frac{S}{t_2} = \frac{75}{1.5} = 50 \text{ км/ч} \)
\( v_1 - v_2 = 60 - 50 = 10 \text{ км/ч} \), что соответствует условию.

Ответ: Скорость машины туда была 60 км/ч.

1.3. В одном баке было бензина вдвое больше, чем в другом, если перелить из первого бака во второй 25 л бензина, в каждом баке будет бензина поровну. сколько литров бензина было в каждом баке первоначально?

Дано:

• \( V_1 = 2V_2 \)


• \( V_1 - 25 = V_2 + 25 \)

Найти: \( V_1, V_2 \)

Решение:

Из первого уравнения: \( V_1 = 2V_2 \).

Из второго уравнения: \( V_1 - V_2 = 50 \).

Подставим \( V_1 = 2V_2 \) во второе уравнение:

\( 2V_2 - V_2 = 50 \)
\( V_2 = 50 \text{ л} \)
Теперь найдём \( V_1 \):
\( V_1 = 2V_2 = 2 \times 50 = 100 \text{ л} \)
Проверим: \( 100 - 25 = 75 \) и \( 50 + 25 = 75 \). Бензина стало поровну.

Ответ: В первом баке было 100 л, во втором — 50 л.