5 Решить уравнение: (\(\frac{5}{12}\))^(2x-3) = 2,4^(2x-3)

Решение:

Дано уравнение: \( \left(\frac{5}{12}\right)^{2x-3} = 2.4^{2x-3} \).

Заметим, что \( 2.4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5} \).

Перепишем уравнение:

\[ \left(\frac{5}{12}\right)^{2x-3} = \left(\frac{12}{5}\right)^{2x-3} \]

Используем свойство степеней \( a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n \) или \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \).

Тогда \( \left(\frac{12}{5}\right)^{2x-3} = \left(\frac{5}{12}\right)^{-(2x-3)} = \left(\frac{5}{12}\right)^{3-2x} \).

Уравнение примет вид:

\[ \left(\frac{5}{12}\right)^{2x-3} = \left(\frac{5}{12}\right)^{3-2x} \]

Приравниваем показатели степеней:

\[ 2x - 3 = 3 - 2x \]

\[ 2x + 2x = 3 + 3 \]

\[ 4x = 6 \]

\[ x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \]

Ответ: \( x = \frac{3}{2} \).