4 Решить уравнение: sin²x - 4sin x cos x + 3cos²x = 0.

Решение:

Дано уравнение: \( \sin^2x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2x = 0 \).

Это однородное уравнение второй степени относительно \( \sin x \) и \( \cos x \).

Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin^2x = 0 \), что невозможно, так как \( \sin^2x + \cos^2x = 1 \). Следовательно, \( \cos x \neq 0 \).

1. Разделим обе части уравнения на \( \cos^2x \):
   \( \frac{\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2x} + \frac{3\cos^2x}{\cos^2x} = 0 \)
2. Получим:
   \( \text{tg}^2x - 4\text{tg}x + 3 = 0 \)
3. Сделаем замену \( y = \text{tg}x \):
   \( y^2 - 4y + 3 = 0 \)
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \).
   \( y_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)
   \( y_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \)
5. Вернёмся к замене:
   \( \text{tg}x = 3 \) или \( \text{tg}x = 1 \)
6. Найдём \( x \) для каждого случая:
   \( x = \text{arctg}(3) + \pi n \)
   \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) \( (n, k \in \mathbb{Z}) \)

Ответ: \( x = \text{arctg}(3) + \pi n \) или \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).