5. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 4√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение:

Пусть сторона квадрата равна \( a \). Диагональ квадрата \( d \) связана с радиусом описанной окружности \( R \) соотношением \( d = 2R \).

По условию \( R = 4\sqrt{2} \), значит, диагональ квадрата:

\( d = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \).

Также диагональ квадрата связана с его стороной \( a \) по теореме Пифагора:

\( d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \)

\( d = a\sqrt{2} \).

Приравняем два выражения для диагонали:

\( a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \)

Разделим обе части на \( \sqrt{2} \):

\( a = 8 \).

Ответ: 8