4. В окружности с центром О АС и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 116°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Так как AC и BD — диаметры, то O — центр окружности. Угол AOD — центральный, и ему соответствует дуга AD.

\( \text{measure}(\stackrel{\frown}{AD}) = \angle AOD = 116^{\circ} \).

Угол ACB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Найдем градусную меру дуги AB.

Так как AC — диаметр, то дуга ABC равна 180°.

\( \stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{BC} = 180^{\circ} \).

Так как BD — диаметр, то дуга BCD равна 180°.

\( \stackrel{\frown}{BC} + \stackrel{\frown}{CD} = 180^{\circ} \).

Углы AOD и BOC — вертикальные, следовательно, \( \angle BOC = \angle AOD = 116^{\circ} \). Центральному углу BOC соответствует дуга BC.

\( \text{measure}(\stackrel{\frown}{BC}) = \angle BOC = 116^{\circ} \).

Теперь найдем дугу AB:

\( \stackrel{\frown}{AB} = 180^{\circ} - \stackrel{\frown}{BC} = 180^{\circ} - 116^{\circ} = 64^{\circ} \).

Вписанный угол ACB опирается на дугу AB. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

\( \angle ACB = \frac{1}{2} \stackrel{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 64^{\circ} = 32^{\circ} \).

Ответ: 32